tags: ['数值表示', '数值模型', '处理器架构', '数字逻辑电路', '体系结构']

运算方法与运算器

一、机器算术系统的本质

1.1 有限字长数值系统

计算机中的数不是数学实数，而是：

有限位模式（bit pattern）

设字长为 n 位，则可表示状态数：

$$2^n$$

因此计算机数值空间本质为：

$$\mathbb{Z}_{2^n}$$

即：

模 $2^n$ 整数环

1.2 机器数的编码方式

编码的目标：

将数学整数映射为位模式。

常见编码

编码特点运算特性
原码符号位 + 数值位加减需分情况
反码负数按位取反存在双零
补码模环表示运算统一

1.3 补码的本质

补码定义：

$$-x \equiv 2^n - x$$

意义：

负数 = 模空间中的加法逆元

因此：

$$X - Y = X + (-Y)$$

计算机无需减法器。

1.4 机器算术统一原理

计算机整数运算本质：

$$结果 = 真值 \bmod 2^n$$

所有加减法统一为：

模加法

二、运算语义与位级行为

机器执行的是位操作，但对应数值意义。

2.1 移位运算的数值语义

逻辑左移

位左移，低位补0：

$$x \times 2$$

（无符号）

算术右移

最高位复制：

$$\lfloor x / 2 \rfloor$$

（保持符号）

2.2 进位与溢出

必须区分：

概念含义
进位超出位宽
溢出数值语义错误

有符号溢出条件

同号相加结果异号。

硬件检测

设：

则：

$$Overflow = C_{in} \oplus C_{out}$$

三、定点数基本运算

3.1 补码加法

$$[X]{补} + [Y]{补}= [X+Y]_{补} \bmod 2^n$$

3.2 补码减法

$$X - Y = X + (-Y)$$

3.3 溢出检测实现（软件）

int tadd_ok(int x, int y) {    int sum = x + y;    int neg_over = x < 0 && y < 0 && sum >= 0;    int pos_over = x >= 0 && y >= 0 && sum < 0;    return !(neg_over || pos_over);}

四、乘法运算体系

乘法目标：

$$P = X \times Y$$

本质：

部分积累加

4.1 乘法算法分类

乘法算法├ 串行乘法│   ├ 原码乘法│   ├ Booth乘法│├ 并行乘法│   ├ 阵列乘法器│   ├ Wallace tree│└ 高速乘法

4.2 原码一位乘法

核心思想：

逐位检查乘数：

符号处理

符号位独立：

$$Sign = Sign_X \oplus Sign_Y$$

运算流程

部分积清零重复 n 次：    若乘数最低位=1 → 加被乘数    右移处理符号

4.3 补码一位乘法（Booth）

动机：

减少加法次数。

核心思想

检测位对：

当前位前一位操作
01+X
10-X
00 / 11不变

每轮操作

  1. 加 / 减
  2. 算术右移

五、除法运算体系

目标：

$$Q = X / Y$$

本质：

试商 + 修正

5.1 算法分类

除法算法├ 恢复除法├ 不恢复除法├ SRT除法

5.2 恢复除法

流程：

左移减除数若负 → 恢复 + 商0否则 → 商1

5.3 不恢复除法

若上次为负：

→ 加除数

否则：

→ 减除数

避免恢复步骤。

六、运算器（ALU）体系结构

运算器 = 数据通路 + 控制通路

6.1 数据通路

寄存器组加法器 / ALU移位器部分积寄存器乘数寄存器计数器

6.2 控制通路

控制：

实现：

有限状态机。

6.3 乘法器典型结构

        ┌─────────┐X ─────→│ 被乘数寄存器 │        └─────────┘               ↓        ┌─────────┐        │   ALU   │        └─────────┘               ↓        ┌─────────┐        │ 部分积寄存器 │        └─────────┘               ↓        移位器

七、微操作与执行过程

机器执行的不是算法，而是：

微操作序列

例：

A ← 0repeat n:    if Q0=1 → A ← A + X    (A,Q) 算术右移

八、性能与实现权衡

设计维度影响
位宽延迟
并行度面积
流水线吞吐
算法复杂度控制逻辑

九、运算器体系演进

串行加法器→ 并行加法器→ 乘法阵列→ 流水线ALU→ SIMD→ 向量处理器

十、统一认知模型（核心）

计算机算术的本质链：

数值编码→ 模运算语义→ 位级操作→ 运算算法→ 微操作序列→ 数据通路→ 控制逻辑→ 运算器→ 处理器执行

十一、核心原理总结（最重要）

  1. 机器数是模空间元素
  2. 补码是加法逆元编码
  3. 运算 = 模运算
  4. 移位 = 乘除2
  5. 乘法 = 部分积累加
  6. 除法 = 试商修正
  7. 运算器 = 数据流 + 控制流

十二、知识结构树

机器算术系统├ 数值表示│   ├ 原码│   ├ 反码│   └ 补码│├ 运算语义│   ├ 模运算│   ├ 移位语义│   └ 溢出│├ 运算算法│   ├ 加减│   ├ 乘法│   └ 除法│├ 运算器结构│   ├ 数据通路│   └ 控制通路│└ 工程实现    ├ 微操作    ├ 时序    └ 性能

关联内容（自动生成）