非监督学习

从无标签数据中恢复世界结构的学习范式

一、第一性原理：非监督学习到底在学什么？

非监督学习的本质不是“没有标签的监督学习”，而是：

在缺乏外部语义标注的前提下，假设数据本身蕴含某种内在结构，并试图恢复这种结构。

这些“结构”不是算法决定的，而是建模假设决定的。

从稳定、跨算法的视角，可以将非监督学习统一抽象为三类结构学习问题：

结构类型 学习对象 核心问题
共现 / 频率结构 事件是否经常同时出现 世界中哪些因素彼此相关
几何 / 拓扑结构 数据在空间中如何聚集 世界是如何被自然分组的
概率 / 支持域结构 什么是“正常范围” 世界的常态边界在哪里

对应形成三大方法族：

后续所有算法，都是对这些结构假设的不同工程实现。

二、关联规则挖掘：学习“共现结构”

1. 建模哲学

关联规则挖掘假设：

如果两个事件在数据中经常同时出现，那么它们之间可能存在某种潜在关系。

它不关心因果，只关心统计共现。

2. 核心度量：频率与条件关系

支持度（Support）

描述某个事件组合在整体中的出现频率

[ Support(X,Y)=P(X,Y)=\frac{count(X,Y)}{N} ]

置信度（Confidence）

描述在 Y 已发生的条件下，X 发生的可能性

[ Confidence(X\Leftarrow Y)=P(X|Y)=\frac{P(X,Y)}{P(Y)} ]

提升度（Lift）

衡量条件关系是否“超出随机独立假设”

[ Lift(X\rightarrow Y)=\frac{P(Y|X)}{P(Y)} ]

👉 提升度才是真正的“相关性校正指标”

3. 频繁项集挖掘的核心不变量

Apriori 原理（反单调性）

这是：

搜索空间剪枝的数学基础

4. 算法演进逻辑

算法 核心思想 演进动因
Apriori 广度优先 + 候选剪枝 频繁扫描数据集
FP-Growth 压缩表示 + 条件模式基 减少扫描次数

FP-Growth 的本质不是“更聪明”，而是：

用结构换时间，用内存换扫描成本

三、聚类：学习“空间与分布结构”

1. 聚类的统一建模假设

所有聚类算法都隐含一个前提：

相似的样本在某种空间或分布中应当彼此接近。

不同算法的差异在于：

2. 稳定的聚类分类维度（而非算法记忆）

维度 关键问题
距离 vs 分布 是否显式建模概率？
参数依赖 是否需要预设 K？
簇形状假设 是否只支持凸簇？
噪声鲁棒性 是否能识别离群点？

3. 聚类方法族

（1）层次聚类 —— 结构优先

👉 输出的是层次关系本身

（2）原型聚类（K-means）—— 几何均值假设

建模假设：

目标函数： [ J=\frac1m\sum_{i=1}^{m}|x^{(i)}-\mu_{c^{(i)}}|^2 ]

算法不变量：

工程代价：

（3）分布聚类（EM / GMM）—— 概率生成模型

核心思想：

数据来自多个隐含分布的混合

EM 是一个优化框架：

👉 聚类结果是概率归属，而非硬划分

（4）密度聚类（DBSCAN）—— 支持域假设

优点：

代价：

四、异常检测：学习“正常性的边界”

1. 异常检测的核心哲学

异常检测的关键假设是：

正常数据有稳定结构，异常是对该结构的偏离。

因此：

2. 密度估计范式

判定规则

[ p(x)\begin{cases} <\varepsilon & anomaly
\ge\varepsilon & normal \end{cases} ]

这是一个支持域判定问题。

3. 高斯异常检测模型

假设各特征独立且服从高斯分布：

[ \mu_j=\frac{1}{m}\sum x_j^{(i)},\quad \sigma_j^2=\frac{1}{m}\sum(x_j^{(i)}-\mu_j)^2 ]

联合概率： [ p(\vec{x})=\prod_{j=1}^np(x_j;\mu_j,\sigma_j^2) ]

4. 阈值选择与数据现实

5. 异常检测 vs 监督学习（本质对比）

维度 异常检测 监督分类
建模对象 正常分布 类边界
对异常假设 未知、多样 稳定、可见
适用场景 欺诈、设备监控 分类、识别

五、方法演进与稳定认知

非监督学习的演进不是“算法更新”，而是：

数据规模、维度与分布复杂度的变化

六、最终总结：稳定知识视角

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